函數(shù)相對(duì)于白變量變化的快慢程度,通常叫做函數(shù)的變化率
導(dǎo)數(shù)是在研究變化率問題中產(chǎn)生的概念．因此,我們先討論變化
率問題,從而引出導(dǎo)數(shù)概念．
一、變化率問題舉例
2．運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度
速度這個(gè)概念是我們經(jīng)常遇到的,例如在步行時(shí),每小時(shí)5公
里,步行的速度就是5公里／／J、時(shí)；又如某輛汽車在3個(gè)小時(shí)內(nèi)共
行駛120公里,它的速度就是半＝40(公里／小時(shí)),這些都是平均
速度,它在一定程度上反映了物體的運(yùn)動(dòng)．但是,還不能說明這輛
汽車在哪些時(shí)刻開得快,哪些時(shí)刻開得慢,以及快多少慢多少．
科學(xué)的發(fā)展,不僅需要計(jì)算平均速度,還要計(jì)算任何一個(gè)時(shí)刻
的瞬時(shí)速度,如何求瞬時(shí)速度呢?
現(xiàn)在我們?cè)O(shè)一物體作變速直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為5；5(*),
其中5表示路程,c表示時(shí)間,求物體在‘：“o時(shí)刻的瞬時(shí)速度
p(cD)—
我們知道,當(dāng)時(shí)間由‘.變到‘.*4f時(shí),物體在這段時(shí)間內(nèi)所
經(jīng)過的路程為
45＝5(co十Af)—5(20),
因此這段時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)距離對(duì)時(shí)間的平均變化率,即平均速度
為
— A5 5(『o?』2)一5(6.)
’一A6一 叢f ·
當(dāng)Ac很小時(shí),可以用；近似地表示物體在‘o時(shí)刻的速度
越小,；也就越接近于”(‘o)．因此,當(dāng)db—o時(shí),；的極陽
在‘o時(shí)刻的瞬時(shí)速度,即
u(c.,；織釜＝熾LLlJ宅產(chǎn)LJLLJ
2．總成本的變化率
設(shè)某產(chǎn)品的總成本c是產(chǎn)量x的函數(shù),記為c＝c(s),求產(chǎn)
量為2＝“o時(shí),總成本對(duì)產(chǎn)量的變化率．
我們知道,當(dāng)產(chǎn)量由‘.改變到“.tdX時(shí),總成本的相應(yīng)改變
量為
dC＝C(“o十dK)一C(”o),
因此,產(chǎn)量由“o改變到50*dK時(shí),總成本對(duì)產(chǎn)量的平均變化率為
4C—511Ji坐上JLl型
d6— dw ’
當(dāng)dK—o時(shí),上式的極限就是總產(chǎn)量為“.時(shí),總成本對(duì)產(chǎn)量的變
化率(經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱其為邊際成本,并記為肥),即
W＝Hm癸：HmLLJlL學(xué)JLLJAJ
A』‘u LD APN 山
以上兩例的實(shí)際意義不同．但解決問題的思路相同,都是求函
數(shù)在某一點(diǎn)的變化率,其數(shù)學(xué)形式都?xì)w結(jié)為計(jì)算函數(shù)的改變量
(Ay)與自變量的改變量(dX)之比值(哭)的極限(當(dāng)d6一o時(shí)),
我們稱這種特定形式的極限為函數(shù)y＝八“)的導(dǎo)數(shù)．
：、導(dǎo)數(shù)定義
定義3．1 設(shè)函數(shù)2＝／(z)在點(diǎn).o的某鄰域內(nèi)有定義
變量在Ko取得改變量dw時(shí),函數(shù)取得相應(yīng)的改變量
A7＝／(xD?A5)—八“.)．
如果當(dāng)叢利時(shí),Ay與A 2之比的極照
把會(huì)＝織L11J宅戶LJl4
存在,則稱函數(shù)八2)在點(diǎn)x.處可導(dǎo),并稱此極限值為函數(shù)八“)在
點(diǎn)“o處的導(dǎo)數(shù)．記為／’(xo),即
／’‘Ko)＝央盅；織L14J令產(chǎn)LJLl4
導(dǎo)數(shù)／’(“o)也可記為
JK—《.5vd2,5t塹墜JL
7M—Xo 礬dZI’：、 礬dK
如果令“＝“o十此,則當(dāng)此一0時(shí),x—x.
的定義又可表示為
4v1—f／*.1
／’(xo)＝塊丹個(gè)· (：．z)
函數(shù)八x)在點(diǎn)“o可導(dǎo)有時(shí)也說成八x)在點(diǎn)：o具有導(dǎo)數(shù)或
導(dǎo)數(shù)存在,“o稱為可導(dǎo)點(diǎn)．如果極限(3．1)不存在,就說八x)在點(diǎn)
Xo不可導(dǎo)；如果不可導(dǎo)的原因是由于此一.時(shí),盅一.,為了方
便起見,也說函數(shù)八2)在點(diǎn)“o的導(dǎo)數(shù)為無窮大,并記為／’(“o)＝
Hm92＝M．