先證明 當x>0時,ln(1+x) / arctanx > 1/(1+x)
即(1+x)ln(1+x) > arctanx
令f(x) = (1+x)ln(1+x) - arctanx
f'(x) = ln(1+x) + 1 - 1/(1+x²) = ln(1+x) + x²/(1+x²) > 0
所以f(x)是增函數
f(x) > f(0) = 0
即 (1+x)ln(1+x) > arctanx
所以 ln(1+x) / arctanx > 1/(1+x)
下面證明 1/(1+x) > √[(1-x)/(1+x)]
即證 1/√(1+x) > √(1-x)
即 1 > √(1-x²)
因為 0