已知橢圓C：x²/a²+y²/b²＝1（a>b>0）的短半軸長為√3.點F1.F2分別是橢圓C的左右焦點,以原點為圓心,橢圓C的長軸為半徑的圓與橢圓的準(zhǔn)線相切.
⑴求橢圓C的方程
⑵若過點F2的直線L與橢圓C相交于點M,N兩點,求使△F1MN面積最大時直線L的方程
(1).右準(zhǔn)線x=a²/c；依題意,a²/c=2a,即有2ac-a²=a(2c-a)=0,故得a=2c；
又已知b=√3,b²=3,a²-b²=a²-3=4c²-3=c²,即3c²=3,故得c²=1,于是a²=b²+c²=3+c²=3+1=4；
故橢圓方程為x²/4+y²/3=1.橢圓的離心率e=c/a=1/2；右焦點F₂(1,0)；
(2).設(shè)直線L的方程為y=k(x-1),
△F₁MN的面積S=(1/2)∣MF₂∣∣NF₂∣sin∠MF₁N
顯然,當(dāng)MN⊥x軸時面積S最大,此時k=+∞,L的方程為x=1.