樓上證得不對,這道題要用數(shù)學(xué)歸納法證明:
證明過程中要用到以下內(nèi)容:
第一:n階矩陣An正定,An-1為n-1階順序主子式正定.
第二,若A正定,則A逆正定.
我們看An的順序主子式A1,A2,...An-1,An(就是對角線上的塊兒,詳情百度百科).
數(shù)學(xué)歸納對n歸納
A1=a11,滿足條件
當(dāng)為n-1時,若An-1<=a11*a22*.*an-1n-1.
往證那么為n時,An<=a11*.*ann.
將An分塊,An=
An-1,b
b',ann
然后用n階矩陣P={En,-An-1的逆b;0,1}合同An,就是P'AnP={}An-1,0 ; 0,ann-b'An-1b}.
兩邊取行列式|A|=|P'AP|=|An-1|(ann-b'An-1的逆b)<=(a11*a22*.*an-1n-1)(ann-b'An-1的逆b)
可見只要證明ann-b'An-1的逆b<=ann就完事兒了.
由于A和An-1都正定|A|=|P'AP|=|An-1|(ann-b'An-1的逆b),說明(ann-b'An-1的逆b)>0;
由于An-1的逆是正定的,說明b'An-1的逆b>=0.綜上所以,0這樣就證明了我們上邊的"往證"由于電腦打字不方便,不懂得地方歡迎追問,尤其是矩陣沒法打我用的是計算機的表示矩陣方法.下面我把那兩個預(yù)備定理簡單說一下:
A正定,則x'Ax>=0,令x=[y,0],則x'Ax=y'An-1y>=0,按照正定定義An-1正定.
第二個看特征值A(chǔ)正定,特征值皆正,A逆的特征值是A特征值的倒數(shù),也皆正,則A逆正定(正定充要條件是特征值皆正)P是這樣一個分塊矩陣En-1,-An-1的逆b;0,1第一塊是n-1階單位陣,第三塊是0向量,第四塊是數(shù)字1,第二塊是,(-An-1的逆)b,其中b是上邊提到的列向量,An-1的逆是上邊的A的第一塊An-1的逆矩陣.然后P'AP正好合同于A,且形式簡單.這種做法很常見的 比如|En-AB|=|Em-BA|的證明.就是用相似變換做的,你這道題是武漢大學(xué)今年的考研題,據(jù)我所知只有我這一種證法.建議看看自己線性代數(shù)教材上的例題~就明白這種常見的證明方法了