雞兔同籠問題是我國古算書《孫子算經(jīng)》中著名的數(shù)學(xué)問題,解決雞兔同籠問題的常用方法是假設(shè)法,即根據(jù)題目中的已知條件或結(jié)論做出某種假設(shè),然后根據(jù)假設(shè)進行推算,對數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾進行適當調(diào)整從而找到正確答案的方法.對于一些復(fù)雜的雞兔同籠問題,還可以利用其他數(shù)學(xué)方法幫助我們解決問題.
一、問題的提出
大、小猴子共35只一起去采桃子.猴王不在的時候,一只大猴子一小時可采15千克,一只小猴一小時可采ll千克.猴王在場監(jiān)督的時候,每只猴子不論大小每小時都可以多采摘12千克.它們一天采桃8小時,共采了4400千克桃子.在這個猴群中,共有小猴子多少只?
這道題是由基本的雞兔同籠問題轉(zhuǎn)變而來的.因為在這道題目中大猴與小猴的只數(shù)和猴王在場與不在場的時間都是未知的,直接采用假設(shè)法解決問題會非常復(fù)雜.但是,如果在解決問題中能夠巧妙運用轉(zhuǎn)化方法將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題,將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題,這道看起來很復(fù)雜的雞兔同籠問題解決起來就會變得很簡單.
二、巧用轉(zhuǎn)化思想
第一步,將猴王在場轉(zhuǎn)化為猴王不在場
從題目中可知“猴王在場監(jiān)督的時候,每只猴子不論大小每小時可以多采12千克桃子.”設(shè)猴王在場監(jiān)督了x小時,如果沒有猴王在場監(jiān)督,每只猴子都要少采12x千克桃子,35只大、小猴子共少采35×12x=420x千克桃子.用總數(shù)糊0千克去掉少采的桃子數(shù)量,即4400一420x千克,這樣就把題目中猴王在場與不在場的兩種情況統(tǒng)一為只有猴王在場的情況.
第二步,將8小時轉(zhuǎn)化為1小時.
因為4400一420x千克是35只大、小猴子8小時采桃子的數(shù)量,35只大、小猴子一小時共采桃子：4400-420x/8千克.通過將8小時采桃子的數(shù)量轉(zhuǎn)化成1小時采桃子的數(shù)量,上面這道復(fù)雜的雞兔同籠問題就變成了一道基本的雞兔問題：“大、小猴子共35只,它們一起去采摘桃子.一只大猴子一小時可采摘15千克,一只小猴子一小時可采摘11千克,每小時大、小猴子共采摘水蜜桃4400-420x/8千克.在這個猴群中,共有小猴子多少只?”下面就可以用解決雞兔同籠問題的假設(shè)法來解答本題了.
三、問題解決
假設(shè)35只猴子全部都是大猴子,那么每小時采桃15×35=525千克,比實際多采桃525-4400-420x/8千克.因為每只小猴每小時比大猴少采桃15一11=4千克,所以共有小猴：
因為小猴子的數(shù)量是整數(shù),即105x一50要能夠被8整除.經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)x=2.
所以共有小猴(105×2—50)÷8=20只.
雞兔同籠問題可以有多種變化,解題方法也多種多樣.在思考問題時可以運用多種數(shù)學(xué)思想以達到解題效果的最優(yōu)化.