明顯題目有問題,an的平方=4an,那這個(gè)數(shù)列是常數(shù)數(shù)列,這里給出的條件應(yīng)該是一個(gè)遞推公式,就比如說(shuō)a(n-1)的平方=4an
高中的題目,特別是高考極少有求一個(gè)常數(shù)數(shù)列的.除非是普通練習(xí)
兩邊取自然對(duì)數(shù)
就是ln a(n+1)的平方=ln 4an
把平方放下來(lái),就變成2ln a(n+1)=ln 4an
∴2ln a(n+1)=ln4 + ln an
設(shè)數(shù)列{ln an}為數(shù)列{bn} 則2b(n+1)=bn + ln4
接下來(lái),就用待定系數(shù)法來(lái)做了.應(yīng)該會(huì)吧?這個(gè)其實(shí)就是難想在轉(zhuǎn)換成對(duì)數(shù)
算了我寫完吧..
2b(n+1)=bn + ln4整理得b(n+1)=1/2bn+ 1/2ln4 ①
然后設(shè)b(n+1)+k=1/2 (bn + k) k為常數(shù)
將k移到一邊,得b(n+1)=1/2bn - k/2
∴對(duì)照①式,-k/2=1/2ln4
∴k=-ln4
∴b(n+1)-ln4=1/2(bn-ln4)
∴數(shù)列{bn-ln4}是一個(gè)公比為1/2,首項(xiàng)是lna1 - ln4=-ln4的等比數(shù)列
∴bn-ln4=(-ln4)×(1/2)^(n-1) 當(dāng)n=1時(shí),bn-ln4=-ln4滿足題意
∴bn=(-ln4)×(1/2)^(n-1)+ln4
又∵前面已設(shè)bn=lnan
∴l(xiāng)nan=(-ln4)×(1/2)^(n-1)+ln4
去對(duì)數(shù),an=e的[(-ln4)×(1/2)^(n-1)+ln4]次方
當(dāng)n=1時(shí),an=1滿足題意
綜上,an的通向公式為an=e的[(-ln4)×(1/2)^(n-1)+ln4]次方