已知函數(shù)f(x)對任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱,則f(2003)=

數(shù)學(xué)人氣：744 ℃時(shí)間：2020-06-07 22:25:21

優(yōu)質(zhì)解答

y=f(x-1)向左平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=f（x）
y=f(x-1)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱
所以f（x）關(guān)于原點(diǎn)（0,0）對稱
所以f（x）是奇函數(shù)
f(x+6)+f(x)=2f(3)令x=-3
則f（3）+f（-3）=2f（3）
再根據(jù)f（x）是奇函數(shù)
得到f（3）=-f（-3）
得到f（3）-f（3）=2f（3）
所以f（3）=0
所以f（x+6）+f（x）=0
用x+6換x
得到f（x+12）+f（x+6）=0
所以f（x+12）=f（x）
f（2003）=f（12*167-1）=f（-1）=-f（1）