8x^2-60x+72
=4(2x^2-15x+18)
=4(2x-3)(x-6)十字相乘法
開放分類：數(shù)學(xué)、十字相乘法
十字相乘法概念
十字相乘法能把某些二次三項(xiàng)式分解因式.這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1,a2的積a1•a2,把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1,c2的積c1•c2,并使a1c2+a2c1正好是一次項(xiàng)b,那么可以直接寫成結(jié)果：,在運(yùn)用這種方法分解因式時(shí),要注意觀察,嘗試,并體會(huì)它實(shí)質(zhì)是二項(xiàng)式乘法的逆過程.當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí),往往需要多次試驗(yàn),務(wù)必注意各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào).
例題
例1 把2x^2－7x+3分解因式.
分析：先分解二次項(xiàng)系數(shù),分別寫在十字交叉線的左上角和左下角,再分解常數(shù)項(xiàng),分
別寫在十字交叉線的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代數(shù)和,使其等于一次項(xiàng)系數(shù).
分解二次項(xiàng)系數(shù)(只取正因數(shù))：
2＝1×2＝2×1；
分解常數(shù)項(xiàng)：
3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3).
用畫十字交叉線方法表示下列四種情況：
1 1

2 3
1×3+2×1
=5
1 3

2 1
1×1+2×3
=7
1 －1

2 －3
1×(－3)+2×(－1)
=－5
1 －3

2 －1
1×(－1)+2×(－3)
=－7
經(jīng)過觀察,第四種情況是正確的,這是因?yàn)榻徊嫦喑撕?兩項(xiàng)代數(shù)和恰等于一次項(xiàng)系數(shù)－7.
解 2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).
一般地,對(duì)于二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0),如果二次項(xiàng)系數(shù)a可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積,即a=a1a2,常數(shù)項(xiàng)c可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積,即c=c1c2,把a(bǔ)1,a2,c1,c2,排列如下：
a1 c1

a2 c2
a1a2+a2c1
按斜線交叉相乘,再相加,得到a1a2+a2c1,若它正好等于二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式a1x+c1與a2x+c2之積,即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像這種借助畫十字交叉線分解系數(shù),從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法,通常
叫做十字相乘法.
例2 把6x2－7x－5分解因式.
分析：按照例1的方法,分解二次項(xiàng)系數(shù)6及常數(shù)項(xiàng)－5,把它們分別排列,可有8種不同的排列方法,其中的一種
2 1

3 －5
2×(－5)+3×1=－7
是正確的,因此原多項(xiàng)式可以用十字相乘法分解因式.
解 6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5).
指出：通過例1和例2可以看到,運(yùn)用十字相乘法把一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式因式分解,往往要經(jīng)過多次觀察,才能確定是否可以用十字相乘法分解因式.
對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式,也可以用十字相乘法分解因式,這時(shí)只需考慮如何把常數(shù)項(xiàng)分解因數(shù).例如把x2+2x－15分解因式,十字相乘法是
1 －3

1 5
1×5+1×(－3)=2
所以x2+2x-15=(x－3)(x+5).
例3 把5x2+6xy－8y2分解因式.
分析：這個(gè)多項(xiàng)式可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式,把－8y2看作常數(shù)項(xiàng),在分解二次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)系數(shù)時(shí),只需分解5與－8,用十字交叉線分解后,經(jīng)過觀察,選取合適的一組,即
1 2

5 －4
1×(－4)+5×2=6
解 5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y).
指出：原式分解為兩個(gè)關(guān)于x,y的一次式.
例4 把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式.
分析：這個(gè)多項(xiàng)式是兩個(gè)因式之積與另一個(gè)因數(shù)之差的形式,只有先進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算,把變形后的多項(xiàng)式再因式分解.
問：兩上乘積的因式是什么特點(diǎn),用什么方法進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算最簡(jiǎn)便?
答：第二個(gè)因式中的前兩項(xiàng)如果提出公因式2,就變?yōu)?(x－y),它是第一個(gè)因式的二倍,然后把(x－y)看作一個(gè)整體進(jìn)行乘法運(yùn)算,可把原多項(xiàng)式變形為關(guān)于(x－y)的二次三項(xiàng)式,就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x－y)(2x－2y－3)－2
=(x－y)[2(x－y)－3]－2
=2(x－y) 2－3(x－y)－2
=[(x－y)－2][2(x－y)+1]
=(x－y－2)(2x－2y+1).
1 －2

2 +1
1×1+2×(－2)=－3
指出：把(x－y)看作一個(gè)整體進(jìn)行因式分解,這又是運(yùn)用了數(shù)學(xué)中的“整體”思想方法.
例3:x2+2x-15
分析：常數(shù)項(xiàng)(-15)