R(A1,A2,A3)=2
說明這個(gè)向量組不是滿秩 則線性相關(guān)
則存在不全為0的數(shù)k1,k2,k3
k1A1+k2A2+k3A3=0 .(1)
若k1=0
則 k2A2+k3A3=0
說明k2,k3線性相關(guān) 而這與R(A2,A3,A4)=3矛盾
所以k1≠0
由1式可知A1能由A2,A3線性表示
反證法證明A4不能由A1,A2,A3線性表示
若A4能由A1,A2,A3線性表示
則存在一組不全為0的數(shù)k1,k2,k3
使A4=k1A1+k2A2+k3A3
由第一步的證明：A1能由A2,A3線性表示
設(shè)A1=b2A2+b3A3 b1 ,b2 不全為0
則：k1b2A2+k1b3A3+k2A2+k3A3=A4.(2)
因?yàn)閗1 k2 b1 b2不全為0
由2這說明A2 A3 A4線性相關(guān),則必不滿秩
這與R(A2,A3,A4)=3矛盾
所以A4不能由A1,A2,A3線性表示