設(shè)四面體邊長為a外接球半徑為R內(nèi)切球半徑為r
則高為h=(a*根號3)/3三角形面積s=(a平方*根號3)/4體積為(1/3)*s*h……方程一
亦等于4個(gè)以三角形面為底的小四面體體積之和即4*(1/3)*s*r……方程二
由方程一二得r=(1/4)*h=(根號6/12)*a
由一側(cè)邊和四面體高以及底面三角形中心與底面三角形頂點(diǎn)的連線構(gòu)成三角形一
該側(cè)邊與2個(gè)外接圓半徑(其中一半徑落于四面體高上)構(gòu)成三角形二
則三角形一中余下直角三角形三
三角形三中落于四面體高上的邊長由勾股定理得 L=根號[R平方-a平方*(1/3)]
三角形一中 四面體高 h=a*(根號6/3)……方程三
亦等于R+L……方程四
由方程三四得R=(根號6/4)*a
故外接球與內(nèi)切球半徑比為 3