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設(shè)函數(shù)f(x)=a/3x3+bx2+4cx+d的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(x)的圖象在點(diǎn)P(1,m)處的切線的斜率為-6,且當(dāng)x=2時(shí)f(x)有極值. (Ⅰ)求a、b、c、d的值; (Ⅱ)求f(x)的所有極值.
設(shè)函數(shù)
f(x)=
a
3
x
3
+b
x
2
+4cx+d
的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(x)的圖象在點(diǎn)P(1,m)處的切線的斜率為-6,且當(dāng)x=2時(shí)f(x)有極值.
(Ⅰ)求a、b、c、d的值;
(Ⅱ)求f(x)的所有極值.
數(shù)學(xué)
人氣:175 ℃
時(shí)間:2019-10-17 08:00:39
優(yōu)質(zhì)解答
(Ⅰ)由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,得f(-x)=-f(x)
∴
?
a
3
x
3
+b
x
2
?4cx+d=?
a
3
x
3
?b
x
2
?4cx?d
,∴b=0,d=0.
∴
f(x)=
a
3
x
3
+4cx
,∴f'(x)=ax
2
+4c.
∴
f′(1)=a+4c=?6
f′(2)=4a+4c=0
,即
a+4c=?6
4a+4c=0
.∴a=2,c=-2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
f(x)=
2
3
x
3
?8x
,∴f'(x)=2x
2
-8=2(x
2
-4).
由f(x)>0,得x
2
-4>0,∴x>2或x<-2.
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
極小
↗
極大
↘
∴
f(x
)
極大
=f(?2)=
32
3
;f(x
)
極小
=f(2)=?
32
3
.
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