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  • 設(shè)函數(shù)f(x)=a/3x3+bx2+4cx+d的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(x)的圖象在點(diǎn)P(1,m)處的切線的斜率為-6,且當(dāng)x=2時(shí)f(x)有極值. (Ⅰ)求a、b、c、d的值; (Ⅱ)求f(x)的所有極值.

    設(shè)函數(shù)f(x)=
    a
    3
    x3+bx2+4cx+d
    的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(x)的圖象在點(diǎn)P(1,m)處的切線的斜率為-6,且當(dāng)x=2時(shí)f(x)有極值.
    (Ⅰ)求a、b、c、d的值;
    (Ⅱ)求f(x)的所有極值.
    數(shù)學(xué)人氣:175 ℃時(shí)間:2019-10-17 08:00:39
    優(yōu)質(zhì)解答
    (Ⅰ)由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,得f(-x)=-f(x)
    ?
    a
    3
    x3+bx2?4cx+d=?
    a
    3
    x3?bx2?4cx?d
    ,∴b=0,d=0.
    f(x)=
    a
    3
    x3+4cx
    ,∴f'(x)=ax2+4c.
    f′(1)=a+4c=?6
    f′(2)=4a+4c=0
    ,即
    a+4c=?6
    4a+4c=0
    .∴a=2,c=-2.
    (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=
    2
    3
    x3?8x
    ,∴f'(x)=2x2-8=2(x2-4).
    由f(x)>0,得x2-4>0,∴x>2或x<-2.
    x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)
    f'(x)-0+0-
    f(x)極小極大
    f(x)極大=f(?2)=
    32
    3
    ;f(x)極小=f(2)=?
    32
    3
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