1.因?yàn)閙^2-n^2= (m+n)(m-n),m,n屬于整數(shù)
又任何一個(gè)奇數(shù)都可以表示為:2k+1,k為整數(shù)
令(m+n)(m-n)= 2k+1
又令 m+n= 2k+1
m-n= 1
聯(lián)立解得方程組的解為:m= k+1,n=k ,有整數(shù)解
說(shuō)明,對(duì)任何一個(gè)奇數(shù),總能找到一組m,n 使得這個(gè)奇數(shù)在 A集合中
2.假如是A的元素,所以
有(m+n)(m-n) = 4k-2 =2(2k-1) 是偶數(shù)'2'和一個(gè)奇數(shù)的乘積,且是'2'的倍數(shù)
假設(shè) m+n 是偶數(shù) ,那么m,n同為偶數(shù)或者同為奇數(shù)
2-1如果為偶數(shù),那么m-n為偶數(shù),那么2個(gè)偶數(shù)相乘 必定是 4的倍數(shù),而 4k-2 是2的倍數(shù),所以顯然假設(shè)不成立;
2-2如果為奇數(shù),那么m-n 為偶數(shù),也就是m-n=2p,m+n=(2k-1)/p,p是奇數(shù)
聯(lián)合解得m=p+(2k-1)/2p ,而2k-1 和p都是奇數(shù),顯然m不是整數(shù),所以假設(shè)不成立
綜合上訴兩點(diǎn),可以知道 4k-2都不是A的元素
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