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  • 設(shè)橢圓C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一個焦點與拋物線C:y^2=8x的焦點重合,離心率e=2根號5/5,過橢圓的右焦點F作與坐標(biāo)軸不重合的直線L,交橢圓于A、B兩點.設(shè)M(1,0),且(MA向量+MB向量)⊥AB向量

    設(shè)橢圓C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一個焦點與拋物線C:y^2=8x的焦點重合,離心率e=2根號5/5,過橢圓的右焦點F作與坐標(biāo)軸不重合的直線L,交橢圓于A、B兩點.設(shè)M(1,0),且(MA向量+MB向量)⊥AB向量,求直線L的方程
    數(shù)學(xué)人氣:474 ℃時間:2019-10-19 15:03:56
    優(yōu)質(zhì)解答
    (1)設(shè)橢圓的右焦點為(c,0),
    因為y2=8x的焦點坐標(biāo)為(2,0),所以c=2
    因為 e=c/a=2√5/5,則a^2=5,b^2=1
    故橢圓方程為: x^2/5+y2=1
    (2)由(I)得F(2,0),
    設(shè)l的方程為y=k(x-2)(k≠0)
    代入 x^2/5+y2=1,得(5k^2+1)x^2-20k^2x+20k^2-5=0,
    設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
    則 x1+x2=20k^25/k^2+1,x1x2=20k^2-√5/5k^2+1,
    ∴y1+y2=k(x1+x2-4),y1-y2=k(x1-x2)
    ∴ MA→+MB→=(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(x1+x2-2,y1+y2),AB→=(x2-x1,y2-y1)
    ∵ (MA→+MB→)•AB→=0,∴(x1+x2-2)(x2-x1)+(y2-y1)(y1+y2)=0∴ 20k^2×5^k2+1-2-4k2^×5k2+1=0,
    ∴ 3^k2-1=0,k=±√3/3
    所以直線l的方程為 y=土√3/3(x-2).
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