已知二次型f(x1,x2,x3)=2(x1)^2+a(x2)^2+2x2x3經(jīng)過正交變換（x1 x2 x3）=P（y1 y2 y3）化成了標(biāo)準(zhǔn)型f=(y2)^2+b(y3)^2,求a,b的值和所用正交變換的矩陣P.

已知二次型f(x1,x2,x3)=2(x1)^2+a(x2)^2+2x2x3經(jīng)過正交變換（x1 x2 x3）=P（y1 y2 y3）化成了標(biāo)準(zhǔn)型f=(y2)^2+b(y3)^2,求a,b的值和所用正交變換的矩陣P.
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（和下題有相似,請老師幫忙解答一下,謝謝）
http://zhidao.baidu.com/question/347582835.html?fr=qrl&cid=983&index=4&fr2=query
化成了標(biāo)準(zhǔn)型f=(y2)^2+b(y3)^2,應(yīng)該是f=(y1)^2+b(y2)^2-y3^2

數(shù)學(xué)人氣：344 ℃時間：2020-02-05 07:11:14

優(yōu)質(zhì)解答

解: 二次型f的矩陣 A=
200
0a1
010
相似于對角矩陣 B=diag(1,b,-1).
所以 tr(A)=2+a=tr(B)=b, 且 |A|=-2=|B|=-b
得 a=0, b=2.
所以 A=
200
001
010
且A的特征值為1,2,-1.
(A-E)X的基礎(chǔ)解系為a1=(0,1,1)^T
(A-2E)X的基礎(chǔ)解系為 a2=(1,0,0)^T
(A+E)X的基礎(chǔ)解系為a3=(0,1,-1)^T
單位化得
a1=(0,1/√2,1/√2)^T
a3=(1,0,0)^T
a1=(0,1/√2,-1/√2)^T
令P=(a1,a2,a3), 則P為所求的正交矩陣.

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