充分性：因?yàn)?-a 是模 p 的二次剩余,因此方程 x^2≡ -a(mod p) 有解,
設(shè) u^2≡ -a(mod p) ,
則 u^2+a≡u(píng)^2+a*1^2≡0(mod p) .因此存在整數(shù) u、v 滿足條件.
必要性：由（u,v）=1 及 u^2+a*v^2≡0(mod p) 得 （p,v）=1 ,
因此存在整數(shù) v1 使 vv1≡1(mod p) ,
在已知等式中,兩邊同乘以 v1^2 得 (uv1)^2+a(vv1)^2≡(uv1)^2+a≡0(mod p) ,
即 (uv1)^2≡ -a(mod p) ,
這說明 -a 是模 p 的二次剩余 .