凡齊爾用代數(shù)的方法證明:
抽象代數(shù)上有這樣一個定理：如果復數(shù)z可以用尺規(guī)從S0={0,1,z1,...,zn}作出,則z是域F=Q(z1,...,zn,z1~,...,zn~)上的一個代數(shù)元且z的次數(shù)為2的方冪.其中z1~,...,zn~分別是z1,...,zn的共軛.
三等分任意角就是用尺規(guī)從{0,1,a}作出b,其中a=4b^3-3b.
于是b是方程f(x)=4x^3-3x-a=0的根,我們指出f(x)在Q(a)上不可約.
取特殊值a=1/2（即60度角）,則Q(a)=Q(1/2)=Q（有理數(shù)）,f(x)=4x^3-3x-1/2=((2x)^3-3(2x)-1)/2,顯然f(x)在Q上不可約.
所以,一般情況的f(x)在Q上也是不可約的.由此可知b是Q(a)上的三次代數(shù)元.根據(jù)一開始的定理,得到結論：cos(m/3)用尺規(guī)從{0,1,cosm}作出一般說來是不可能的.