個(gè)別式子改清楚了些.
超越數(shù)就是實(shí)數(shù)中不能表為代數(shù)方程根的那部分.與之相應(yīng),代數(shù)數(shù)是可以表為代數(shù)方程的根的數(shù).
在實(shí)數(shù)中,代數(shù)數(shù)是可數(shù)的,所以超越數(shù)是不可數(shù)的.
證明Pi是無(wú)理數(shù)相對(duì)容易得多,以前看過(guò)的也忘了.下面是從網(wǎng)上找的一則證明：
這個(gè)證明屬于Ivan Niven.假設(shè)pi=a/b,我們定義（對(duì)某個(gè)n）：
f(x) = (x^n) * (a-bx)^n / n!
F(x) = f(x) + ...+ (-1)^j * f^(2j)(x) + ...+ (-1)^n * f^(2n)(x)
這里f^(2j)是f的2j次導(dǎo)數(shù).
于是f和F有如下性質(zhì)（都很容易驗(yàn)證）:
1)f(x)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式除以n!.
2)f(x) = f(Pi - x)
3)f在(0,pi)區(qū)間上嚴(yán)格遞增,并且x趨于0時(shí)f(x)趨于0,
x趨于pi時(shí)f(x)趨于pi^n * a^n / n!
4)對(duì)于0 = n,f的j次導(dǎo)數(shù)在0和pi處是整數(shù)（由1)可知）.
6)F(0)和F(pi)是整數(shù)（由4),5)可知）.
7)F + F'' = f
8)(F'·sin - F·cos)' = f·sin （由7)可知）.
這樣,對(duì)f·sin從0到pi進(jìn)行定積分,就是
(F'(pi)sin(pi)-F(pi)cos(pi)) - (F'(0)sin(0)-F(0)cos(0))
=F(pi)+F(0)
由6)可知這是個(gè)整數(shù).
問(wèn)題在于如果把n取得很大,由3)可知f·sin從0到pi進(jìn)行定積分必須嚴(yán)格大于0嚴(yán)格小于1.矛盾,證畢.
Lindemann首先給出了Pi是超越數(shù)的證明.我沒(méi)學(xué)過(guò)代數(shù)數(shù)論,要用到The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem.在講代數(shù)數(shù)論的書(shū)上或許有的；一些講現(xiàn)代幾何學(xué)的書(shū)在講化圓為方問(wèn)題也會(huì)有Pi的超越性證明.
——?jiǎng)偛挪榱艘幌聲?shū),在于秀源的《超越數(shù)論基礎(chǔ)》中,第四章第2節(jié)就證明了e和Pi的超越性.書(shū)我可以發(fā)你郵件里,發(fā)站內(nèi)信告訴我郵件地址就行了.