1) 先證明一個結(jié)論：tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC
利用三角函數(shù)公式：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
因為C=π-(A+B),所以tanC=tan(π-(A+B))=-tan(A+B)=(tanA+tanB)/(tanAtanB-1),移項即得tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC
變形得(1/tanA)*(1/tanB)+(1/tanB)*(1/tanC)+(1/tanC)*(1/tanA)=1
2) 很容易證明以下不等式：(x+y+z)^2 >= 3(xy+yz+zx)
(x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx) = x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx = (1/2)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2] >= 0
即(x+y+z)^2 >= 3(xy+yz+zx),在x=y=z時取等號
3) 根據(jù)1)、2)的結(jié)論有[(1/tanA)+(1/tanB)+(1/tanC)]^2 >= 3[(1/tanA)*(1/tanB)+(1/tanB)*(1/tanC)+(1/tanC)*(1/tanA)] = 3,故(1/tanA)+(1/tanB)+(1/tanC) >= √3或(1/tanA)+(1/tanB)+(1/tanC) 0.如果三個角都是銳角,顯然成立,如果一個角,比如C是鈍角,那么tanC=-tan(A+B),因為0