（1）①把A（2，0）代入y=a（x-t-2）²+t²得：at²+t²=0，┅（2分）
∵t≠0，∴a=-1；┅（3分）
②△PAB能構成直角三角形，理由為：
將a=-1代入拋物線解析式得：y=-（x-t-2）²+t²，
當y=0時，-（x-t-2）²+t²=0，即（x-t-2）²=t²，
開方得：x-t-2=t或x-t-2=-t，
解得：x₁=2，x₂=2t+2，
∴B（2t+2，0），┅（4分）
分兩種情況：
（i）當t＞0時，點B在點A的右側，OA=2，OB=2t+2，
假設△PAB是直角三角形，如圖1所示：過P作PQ⊥AB于Q，
則PQ=

1

2

AB，┅（5分）
∵拋物線的頂點坐標為（t+2，t²），
∴PQ=t²，
∵AB=OB-OA=（2t+2）-2=2t，
∴t²=t，即t（t-1）=0，
解得：t₁=1，t₂=0（不合題意舍去）；┅（6分）
（ii）當t＜0時，點B在點A的左側，
假設△PAB是直角三角形，如圖2所示：過P作PQ⊥AB于Q，
同理：PQ=

1

2

AB，
∵AB=OA-OB=2-（2t+2）=-2t，PQ=t²，
∴t²=-t，┅（7分）
即t（t+1）=0，
解得：t₁=-1，t₂=0（不合題意舍去），┅（8分）
則當t=±1時，△PAB是直角三角形；
（2）不妨設點M在點N的左側，
原拋物線向左平移t個單位后與x軸的交點M（2-t，0）、N（t+2，0），
MN的垂直平分線為直線x=2，垂足為H，┅（9分）
如圖3所示，∵CF垂直于y軸時，CF的長度最小，
∴⊙C半徑的最小值為2，┅（10分）
此時CM=CF=2，⊙C的最小面積為4π，┅（11分）
∵F（0，-1），∴CH=OF=1，
在Rt△CMH中，MH=OH-OM=2-（2-t）=t，
根據(jù)勾股定理得：CH²+MH²=CM²，┅（12分）
∴1²+t²=2²，解得：t₁=

3

，t₂=-

3

（不合題意舍去），┅（13分）
則當t=

3

時，過F、M、N三點圓的面積最小，最小面積為4π．┅（14分）