這是一個(gè)3天后的“零回答”題：
設(shè)長(zhǎng)方體 內(nèi)接于半徑為a的球,問何時(shí)長(zhǎng)方體的體積最大?并求其體積.
長(zhǎng)方體內(nèi)接于一個(gè)球,可以證明：對(duì)棱角線必然經(jīng)過(guò)球心!
因?yàn)殚L(zhǎng)方體對(duì)面全等,任何兩個(gè)相對(duì)面在其外接球上截取的球冠都是全等的.
故 球的球心和其內(nèi)接長(zhǎng)方體的中心必然重合.
設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為x,y,z,則
長(zhǎng)方體體積V=xyz,
√[x^2+y^2+z^2]=2a,
x^2+y^2+z^2=4a^2,
z=√[4a^2-x^2-y^2],
V=xyz=xy√[4a^2-x^2-y^2],
先證明：在長(zhǎng)方形內(nèi),當(dāng)對(duì)角線固定等于b,長(zhǎng)方形面積最大的時(shí)候是長(zhǎng)等于其寬,即對(duì)角線一定的正方形的面積最大.
√[x^2+y^2]=b,y=√[b^2-x^2],
S=xy=x√[b^2-x^2],
dS/dx=√[b^2-x^2]+x{0.5*[b^2-x^2]^(-1/2)(-2x)}=
=√[b^2-x^2]-x^2/√[b^2-x^2]=
=[b^2-2x^2]/√[b^2-x^2],
dS/dx=0時(shí),S才有可能有極值,進(jìn)而才可能有極大值,
[b^2-2x^2]/√[b^2-x^2]=0,
長(zhǎng)方形的一個(gè)邊長(zhǎng)不可能等于對(duì)角線長(zhǎng),即x^2≠b^2,
2x^2=b^2,x=√2b/2,
因?yàn)檫@是實(shí)際問題,面積極值也是極大值、最大值,
也就是在長(zhǎng)方形對(duì)角線長(zhǎng)固定時(shí),正方形的面積最大.
運(yùn)用到這個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體問題中,長(zhǎng)方體底面最大時(shí)是長(zhǎng)和寬相等時(shí),
V=xyz=xy√[4a^2-x^2-y^2]=x^2√[4a^2-2x^2]=√2x^2√[2a^2-x^2],
dV/dx=2√2x√[2a^2-x^2]+√2x^2{0.5[2a^2-x^2]^(-1/2)(-2x)=
=2√2x√[2a^2-x^2]-√2x^3/√[2a^2-x^2]=
={2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3}/√[2a^2-x^2],
dV/dx=0,V才可能有極值,進(jìn)而才可能有極大值、最大值,
{2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3}/√[2a^2-x^2]=0,
2a^2-x^2 不可能等于0,
2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3=0,
x≠0,
2[2a^2-x^2]-x^2=0,
4a^2-3x^2=0,
x^2=4a^2/3,
x=2√3a/3,
這是個(gè)實(shí)際問題,x不可能為0,V只能有極大值,不可能取極小值,
【也可以求V對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù),當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)小于0時(shí),V具有極大值：
d^2V/dx^2=d{2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3}/√[2a^2-x^2]/dx=
=d{[2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3]/√[2a^2-x^2]}/dx=
=d{[4√2a^2x-3√2x^3]/√[2a^2-x^2]}/dx=
={[4√2a^2-9√2x^2]√[2a^2-x^2]-[4√2a^2x-3√2x^3]*0.5[2a^2-x^2]^(-1/2)(-2x)}/√[2a^2-x^2]=
=[4√2a^2-9√2x^2]+[4√2a^2x-3√2x^3]x/[2a^2-x^2],
V要具有極大值,d^2V/dx^2