3維空間中的3個(gè)向量a,b,c可以構(gòu)成一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)系原點(diǎn)的四面體的3個(gè)棱.
這個(gè)四面體的體積可以表示成 |(a X b)c|,其中,a X b 表示3維向量之間的叉積運(yùn)算,運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)和向量a,b都垂直的3維向量.
(a X b)c表示a,b的叉積[向量]和向量c之間的點(diǎn)積運(yùn)算.2個(gè)向量之間的點(diǎn)積運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量.| |是對(duì)一個(gè)標(biāo)量取絕對(duì)值的運(yùn)算.
顯然,3個(gè)3維向量共面時(shí),和它們對(duì)應(yīng)的四面體的體積應(yīng)該為0.
因此,
(a X b)c = 0
可以作為3個(gè)3維向量a,b,c共面的1個(gè)判定條件.
實(shí)際上,設(shè)3階矩陣A的3個(gè)行分別為a,b,c.
則
A的行列式 = (a X b)c
所以,一般用矩陣A的行列式是否為零來(lái)判斷3個(gè)向量a,b,c是否共面.
對(duì)于N維(N>3)空間中的向量來(lái)說(shuō),向量共面一般描述為向量屬于同一個(gè)低維的子空間.
由于N維空間的低維子空間的維數(shù)可以是1到N-1之間的任何一個(gè)數(shù).所以,N維空間中的所謂超平面就不止1個(gè)了.
這個(gè)時(shí)候,要描述向量共一個(gè)超平面,或者說(shuō)向量屬于同一個(gè)低維的子空間,就可以利用樓上說(shuō)的方法.
假設(shè)要討論的N維(N>3)空間的低維的子空間的維數(shù)為 n.1