若函數(shù)f（x）=（x+a）（bx+2a）（常數(shù)a、b∈R）是偶函數(shù)，且它的值域為（-∞，4]，求該函數(shù)的解析式．

數(shù)學(xué)人氣：150 ℃時間：2019-08-19 09:49:13

優(yōu)質(zhì)解答

∵f（x）=（x+a）（bx+2a）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=（-x+a）（-bx+2a）=f（x）=（x+a）（bx+2a），
∴bx²-2ax-abx+2a²=bx²+2ax+abx+2a²，
∴2ax+abx=0，即ax（2+b）=0恒成立，
∴a=0或2+b=0．
若a=0，則f（x）=bx²，若b＞0，值域是y≥0，b＜0，值域是y≤0，都不是（-∞，4]，
所以a≠0，故b+2=0，
∴b=-2，
所以f（x）=-2x²+2a²，
∵-2x²≤0，
所以值域是f（x）≤2a²，
∴2a²=4，
即f（x）=-2x²+4．