已知函數(shù)f(x)=k+√(x-2) ,若在其定義域內(nèi)存在區(qū)間[a,b],使得f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域也是[a,b],求實(shí)數(shù)k的取值范圍
解析：∵函數(shù)f(x)=k+√(x-2),∴其定義域?yàn)閤>=2
F‘(x)=1/[2√(x-2)]>0
∴函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)增；
令k+√(x-2)=x
==>x-2=x^2+k^2-2kx==>x^2-(2k+1)x+k^2+2=0
X1=[(2k+1)-√(4k-7)]/2,X2=[(2k+1)+√(4k-7)]/2
∵在其定義域內(nèi)存在區(qū)間[a,b],使得f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域也是[a,b]
∴x^2-(2k+1)x+k^2+2=0只要存在二個(gè)不等的實(shí)數(shù)解x1,x2,且2k>7/4
[(2k+1)-√(4k-7)]/2>=2==>(2k+1)-√(4k-7)>=4==>(k-2)^2>=0
∴k>7/4解析：∵函數(shù)f(x)=k+√(x-2)，∴其定義域?yàn)閤>=2F‘(x)=1/[2√(x-2)]>0∴函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)增；令h(x)=k+√(x-2)-x令h’(x)=1/2(x-2)^(-1/2)-1=0==>x=9/4h’’(x)=-1/4(x-2)^(-3/2)>0∴函數(shù)h(x)在x=9/4處取極大值h(9/4)=k-7/4∵在其定義域內(nèi)存在區(qū)間[a,b]，使得f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域也是[a,b]∴h(x)=k+√(x-2)-x=0只要存在二個(gè)不等的實(shí)數(shù)解x1,x2，且2<=x10==>k>7/4，且x1<=f(x)<=x2 K=g(x)=x-√(x-2)==>k’=1-1/2(x-2)^(-1/2)=0==>x=9/4函數(shù)g(x)在x=9/4處取極小值g(9/4)=7/4當(dāng)x=2時(shí)k=g(2)=2∴令g(x)=x-√(x-2)=2==>x1=2,x2=3∴在f(x)其定義域內(nèi)存在區(qū)間[2,3]，使得f(x)在區(qū)間[2,3]上的值域也是[2,3]∴7/4