(1)c=1 由c/a=√2/2得a=√2 b^2=a^2-c^2=1
橢圓方程為x^2/2+y^2=1
(2)向量PF與向量PQ共線,向量PF*向量MF=0
則P、Q、F在同一直線上,PF⊥MF
設(shè)過F的直線方程PQ為y=kx+k 則MN為y=-x/k-1/k P(x1,y1) Q(x2,y2) M(x3,y3) N(x4,y4)
聯(lián)立PQ和橢圓方程得(2k^2+1)x^2+4k^2x+2k^2-2=0 則 x1+x2=-b/a=-4k^2/(2k^2+1)
聯(lián)立MN和橢圓方程得(k^2+2)x^2+4x+2-2k^2=0 則x3+x4=-b/a=-4/(k^2+2)
橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離=(c/a)d=√2/2,其中d為該點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離即x=-a^2/c=-2
PQ=(√2/2)*(x1+2+x2+2)=2√2(k^2+1)/(2k^2+1)
MN=(√2/2)*(x3+2+x4+2)=2√2(k^2+1)/(k^2+2)
S=PQ*MN/2=4(k^2+1)^2/[(2k^2+1)(k^2+2)]=4/9[(2k^2+1)/(k^2+2)+(k^2+2)/(2k^2+1)+2]
≥4/9(2+2)=16/9當(dāng)且僅當(dāng)2k^2+1=k^2+2即k^2=1時取等號
【利用了3(k^2+1)=(2k^2+1)+(k^2+2)】
S最小值為16/9