過點P（2,1）的直線L與橢圓X2/2+Y2=1相交,求L被橢圓截得的弦的中點的軌跡方程.
過點P（2,1）的直線L與橢圓X2/2+Y2=1相交,求L被橢圓截得的弦的中點的軌跡方程.
數(shù)學(xué)人氣：826 ℃時間：2019-10-23 05:15:06
優(yōu)質(zhì)解答
設(shè)直線L的方程為y=kx-2k+1,其與橢圓的交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),設(shè)AB的中點坐標(biāo)為(X,Y),則X=(x1+x2)/2,Y=(y1+y2)/2,把直線L方程代入橢圓方程并整理得(k^2+1/2)x^2-(4k^2-2k)x+4k^2-4k=0,由韋達(dá)定理知x1+x2=(4k^2-2k)/(k^2+1/2),則y1+y2=k(x1+x2)-4k+2=(4k^3-2k^2)/(k^2+1/2)-4k+2=-(2k-1)/(k^2+1/2),于是X=(x1+x2)/2=(4k^2-2k)/(2k^2+1),Y=(y1+y2)/2=-(2k-1)/(2k^2+1),則X/Y=-2k,又Y=kX-2k+1,所以X^2-2X+2Y^2-2Y=0,即(X-1)^2/(3/2)+(Y-1/2)^2/(3/4)=1,這就是所求的軌跡方程,其為一個橢圓,長軸在Y=1/2上,知軸在x=1上.
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