這是方程確定的函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題,因
e^(x+y)+xy=1
當(dāng)x=0時,y=0
方程兩邊對x求導(dǎo),得
e^(x+y)(1+y')+y+xy'=0 (1)
將x=0,y=0代入得到 1+y'(0)=0,解得y'(0)=-1
(1)的兩邊繼續(xù)對x求導(dǎo),得到
e^(x+y)(1+y')^2+e^(x+y)y"+2y'+xy"=0
將x=0,y=0,y'(0)=-1代入得到y(tǒng)"(0)=2
有上面的過程,可以判斷出,凡是含有(1+y')因子的項,全部為0,含有x,y的項最后也為0
因此,原方程連續(xù)對x求n次導(dǎo)數(shù),得到
(1+y')g(x)+e^(x+y)y^(n)+(n-1)y^(n-1)+xh(x)=0
于是得到：y^(n)(0)=-(n-1)y^(n-1)(0) (2)
反復(fù)使用（2）得到
y^(n)(0)=(-1)^(n-1)(n-1)!y'(0)
=(-1)^n×(n-1)!