證明：設(shè)f（n）=1?n+2?（n-1）+3?（n-2）+…+（n-1）?2+n?1．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立；
（2）設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即1?k+2?（k-1）+3?（k-2）+…+（k-1）?2+k?1=

1

6

k（k+1）（k+2），
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
f（k+1）=1?（k+1）+2[（k+1）-1]+3[（k+1）-2]+…+[（k+1）-2]?3+[（k+1）-1]?2+（k+1）?1
=f（k）+1+2+3+…+k+（k+1）
=

1

6

k（k+1）（k+2）+

1

2

（k+1）（k+1+1）
=

1

6

（k+1）（k+2）（k+3）．
∴由（1）（2）可知當(dāng)n∈N^*時(shí)等式都成立．