證明:當(dāng)x>0時(shí),成立不等式x/1+x^2

數(shù)學(xué)人氣：888 ℃時(shí)間：2020-02-04 07:12:19

優(yōu)質(zhì)解答

證明:當(dāng)x>0時(shí),成立不等式x/(1+x²)證明：設(shè)y=x/(1+x²)-arctanx,由于y'=[(1+x²)-2x²]/(1+x²)²-1/(1+x²)=(1-x²)/(1+x²)²-1/(1+x²)
=[(1-x²)-(1+x²)]/(1+x²)²=-2x²/(1+x²)<0,故y是減函數(shù)；當(dāng)x=0時(shí),y=0；當(dāng)x>0時(shí)必有y<0；
即不等式x/(1+x²)0時(shí)成立；
再設(shè)u=arctanx-x,由于u'=1/(1+x²)-1=-x²/(1+x²)<0,故u也是減函數(shù)；當(dāng)x=0時(shí)u=0；故當(dāng)x>0時(shí)
必有u=arctanx-x<0,即不等式arctanx0時(shí)成立.
于是命題得證.