1．證明f(x)=(x+4)的1/3次方 在其定義域連續(xù).
證明：其定義域為R,分x0= - 4及x0≠ - 4兩種情況證明：
①x0= - 4,應(yīng)該證明lim -4>(x+4)^1/3=0：
對于任給的ε>0,存在δ=ε^3,當| x+4 | < δ 時,有|(x+4)^1/3-0|= |x+4| ^1/3(x+4)^1/3=(x0+4)^1/3：
利用 a^3 -b^3=（a -b）(a^2 + ab+b^2),取a=(x+4)^1/3,b=(x0+4)^1/3,則有
|(x+4)^1/3-(x0+4)^1/3|=|x -x0| / | (x+4)^2/3+(x+4)^1/3*(x0+4)^1/3+(x0+4)^2/3| （★）,
看（★）中的分母,
相當于 | s^2+st+t^2|,可以證明：s^2+st+t^2 >0,并且| s^2+st+t^2|>t^2/2（證明此附后）
故有|(x+4)^1/3-(x0+4)^1/3| ≤ |x -x0| /(x0+4)^2/2（★★）,
對于任給的ε>0,存在δ=[(x0+4)^2/2]*ε,當| x -x0 | < δ 時,看（★★）,
有|(x+4)^1/3-(x0+4)^1/3| ≤ |x -x0| /(x0+4)^2/2 f(x)=f(-a)：令t= -x：
對于任給的ε>0,存在δ=ε,當| x -(-a) | =| x +a | =| -t +a |=| t -a |< δ 時,
有|f(x) -f(-a)|= |f( -t) +f(a)| = | -f( t) +f(a)|= | f( t) -f(a)| f(x)=f(-a)：令t= -x：
對于任給的ε>0,存在δ=ε,當| x -(-a) | =| x +a | =| -t +a |=| t -a |< δ 時,
有|f(x) -f(-a)|= |f( -t) - f(a)| = | f( t) - f(a)| 0,并且| s^2+st+t^2|>t^2/2：
①若st>0,則s^2+st+t^2 >0,則 |s^2+st+t^2|= s^2+st+t^2>t^2> t^2/2.
②若st0,
于是有|s^2+st+t^2|=s^2+st+t^2≥(s^2+t^2 ) /2 > t^2/2.證畢.