如圖ABCD-A1B1C1是長方體,AB=2,AA1=AD=1,求平面AB1C與A1B1C1D1所成二面角的正切值
如圖ABCD-A1B1C1是長方體,AB=2,AA1=AD=1,求平面AB1C與A1B1C1D1所成二面角的正切值
數(shù)學人氣：222 ℃時間：2020-03-18 10:00:56
優(yōu)質(zhì)解答
連接AC、A1C1,顯然AC//A1C1；過B1做直線L//AC,顯然L//A1C1,所以L//面AB1C、L//面A1B1C1D1,因為B1同時在面A1BC和面A1B1C1D1中,所以L即為面AB1C和面A1B1C1D1的交線；過B1做B1E⊥AC,垂足E在AC上,過E做EF//AA1,交點F在A1C1上,連接B1F；由于AA1⊥面A1B1C1D1,EF//AA1,所以EF⊥面A1B1C1D1,所以EF⊥L,即L⊥EF,又L//AC⊥B1E,所以L⊥面EFB1,所以L⊥FB1,所以∠EB1F即為平面AB1C和平面A1B1C1D1所成的二面角；所以tan∠EB1F=EF/FB1①；EF=AA1=1②；FB1為直角三角形A1B1C1斜邊A1C1上的高,所以A1C1×FB1=A1B1×B1C1,所以FB1=A1B1×B1C1/A1C1=2×1/√(1∧2+2∧2)=2/√5③；將②、③代入①得:tan∠EB1F=√5/2.
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