設(shè)AB均為n階矩陣A^2=A,B^2=B,且（A+B）^2=A+B,求證AB=0;

數(shù)學(xué)人氣：635 ℃時(shí)間：2020-06-12 22:20:00

優(yōu)質(zhì)解答

(A+B)=A^2+B^2+AB+BA=A+B
因?yàn)锳^2=A B^2=B
所以AB+BA=0
A^2=A
于是A的特征值有
b^2-b=0 =>b=0 或者b=1 （b是A的特征值）
AB+BA=0左乘A得
AB+ABA=0
=>AB(E+A)=0
因?yàn)锳的特征值只能在0和1中選擇所以A+E的特征值只能在1和2中選擇
所以A+E行列式不等于0
那么A+E不可逆也就是說(shuō)有 n個(gè)不相關(guān)的向量
也就是說(shuō)AB有n個(gè)基礎(chǔ)解系（因?yàn)锳B(E+A)=0,可以把E+A看作AB的齊次方程的解）
也就是AB的秩為0
那么AB只能為0