在數(shù)學(xué)分析中,極限的證明往往是用ε-δ語言來證的,而這種證明方式,也是分析數(shù)學(xué)的最精髓的地方.在下愚鈍,在大學(xué)畢業(yè)之后才慢慢領(lǐng)會這種證明方式的奧妙.ε-δ語言的主要表現(xiàn)方式是,對于函數(shù)f(x)在x0的鄰域內(nèi),對于任意正數(shù)ε,δ,有|x-x0|<δ,且|f(x)-A|<ε,則稱當(dāng)x趨近x0時(shí),f(x)趨近于A.這個定義的最大特點(diǎn)是,f(x)在x0處可以沒有定義,但當(dāng)x無限接近x0時(shí),f(x)無限接近某一個數(shù)A.而ε-δ語言最難理解的,無非就是ε,δ這兩個任意正數(shù),在證明的過程中,也經(jīng)常會看到很多習(xí)題中會用2ε,ε/2等（注：吉米多維奇是一套不錯的習(xí)題,對于數(shù)學(xué)分析入門很有幫助,但若已入門,個人覺得,吉米多維奇更適合理科非數(shù)學(xué)專業(yè)做數(shù)1用）.其實(shí)我個人感覺,這里的ε,δ就是無窮小,或理解為無限接近,這兩個無窮小僅僅是符號標(biāo)示的不同,其本質(zhì)都是一樣的.但無窮小不是0,最淺顯的例子就是f(x)=(x^2-4)/(x-2),這里x不能等于2,但當(dāng)x無限接近2的時(shí)候,f(x)無限接近4.也就是說,點(diǎn)(x,f(x))只能無限接近(2,4),但兩點(diǎn)不能重合,如何說明這個無窮小呢?我就隨便找一個任意小的正數(shù)δ,使得x與2的距離總是比它小,再隨便找一個任意小的正數(shù)ε,使得f(x)與4的距離總比ε小.
至于2ε是不是無窮小,這個問題可以說是在牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立微積分學(xué)說后,引發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的一個問題,2ε是無窮小,那么3ε,4ε,……十萬乘以ε還是不是無窮小呢?（見谷堆悖論）直到后來康托創(chuàng)立集合論,才解決了第二次的數(shù)學(xué)危機(jī).如果樓主是讀數(shù)學(xué)系,等以后學(xué)實(shí)變函數(shù)的時(shí)候,包括勒貝格的測度論,就會對這里領(lǐng)會得更為透徹.（ps：康托是個非常了不起的數(shù)學(xué)家,盡管羅素悖論引發(fā)了第三次的數(shù)學(xué)危機(jī),以及后世人如ZF公理對康托集合論進(jìn)行補(bǔ)充,但仍不掩康托的偉大.不得不說,康托到目前為止是不可超越的.)