證明：欲證不等式為（a+b）ⁿ-aⁿ-bⁿ≥2²ⁿ-2ⁿ⁺¹
（1）當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊=0，右邊=0，不等式成立；
（2）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即（a+b）^k-a^k-b^k≥2^2k-2^k+1
由正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a＝

b

b?1

，可得a+b=ab
∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2

ab

，∴ab≥4，a+b=ab≥4，∴akb+abk≥2

(ab)k+1

＝2k+2
則n=k+1時(shí)，不等式左邊=（a+b）^k+1-a^k+1-b^k+1=（a+b）[（a+b）^k-a^k-b^k]+a^kb+ab^k
≥4（2^2k-2^k+1）+2^k+2=2^2k+2-2^k+2
即n=k+1時(shí)成立
由（1）（2）可知，正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a＝

b

b?1

，為（a+b）ⁿ-aⁿ-bⁿ≥2²ⁿ-2ⁿ⁺¹．