設A是n階矩陣,且A＾2=A,證明r（A）+r(A-E)=n

數(shù)學人氣：300 ℃時間：2019-10-10 06:36:43

優(yōu)質(zhì)解答

書上例題.由A＾2=A得出A的最小多項式只可能是三種情形
1）A=0,顯然命題成立
2）A-E=0,命題也顯然成立
3）A（A-E）=0,最小多項式?jīng)]有重根,也就是說沒有若當塊,換句話說就是特征值0,1的特征子空間張滿全空間.
又因為Ax=0的解空間維數(shù)等于n-r(A),（A-E）x=0的解空間維數(shù)等于n-r(A-E),
n-r(A)+n-r(A-E)=n,所以有r（A）+r(A-E)=n
1),2)可以歸為3情況,可以不用討論1）,2）