在Rt△ABC中,已知∠A=90°,BC=a,若長為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn),則向量PQ與向量BC的夾角取何值時(shí),向量BP·向量CQ的值最大?求出這個(gè)最大值.
【說明】向量AB記為「AB」
以A為原點(diǎn),AB、AC所在射線為x、y軸正方向建立直角坐標(biāo)系,則A(0,0),
設(shè)B(c,0),C(0,b),P(p,q),則Q(-p,-q),顯然,b²+c²=a² ① p²+q²=a² ② ,
「PQ」=(-2p,-2q),「BC」=(-c,b),「PQ」與「BC」的夾角設(shè)為θ,
則cosθ=「PQ」·「BC」/[|PQ|*|BC|]=(2pc-2bq)/(2a²) ③
「BP」=(p-c,q),「CQ」=(-p,-q-b),
「BP」·「CQ」=(p-c)(-p)+(q)(-q-b)=-(p²+q²)+(pc-bq),
由②③得：「BP」·「CQ」=-a²+a²cosθ=a²(cosθ-1)
所以當(dāng)θ=90°時(shí),「BP」·「CQ」取得最大值0