用洛必達(dá)法則求極限當(dāng)x趨向與0時(shí),(((1+x)^(1/x)-e))/x

數(shù)學(xué)人氣：441 ℃時(shí)間：2020-04-26 06:37:35

優(yōu)質(zhì)解答

這個(gè)題目難處理的是分子上的e,可以運(yùn)用洛必達(dá)法則,但也可以通過處理后運(yùn)用等價(jià)無窮小代換
下面運(yùn)用等價(jià)無窮小代換
lim(x→0）　(((1+x)^(1/x)-e))/x
=lim(x→0）　(((1+x)^(1/x)/e-1))/(ex)
=lim(x→0）　{e^[ln(1+x)^(1/x)/e]-1}/(ex)
=lim(x→0）　ln(1+x)^(1/x)/e]/(ex)
=lim(x→0）　[ln(1+x)/x-1]/(ex)
=lim(x→0）　[ln(1+x)-x]/(ex^2)
=lim(x→0）　[1/(1+x)-1]/(2ex)
=lim(x→0）　-x/[(1+x)(2ex)]
=-1/(2e)