樓上那些自己不懂也敢誤導(dǎo)人……貼個(gè)我以前的回答吧.
自然數(shù)到有理數(shù)有一一對應(yīng),所以是可數(shù)的.關(guān)鍵是構(gòu)造正整數(shù)到(0,1)之間有理數(shù)的一一對應(yīng),之后就好辦了.下面來看這個(gè)對應(yīng)：把(0,1)之間所有有理數(shù)寫成的既約分?jǐn)?shù),排列成：1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,3/5,4/5……排的規(guī)則是分母小的在前,分母一樣的,分子小的在前.任意正整數(shù)k,k對應(yīng)到上面排法中的第k個(gè)分?jǐn)?shù).由于任意給定的有理數(shù)化為既約分?jǐn)?shù)的方法唯一確定,它在上面排法中的位置也是可以確定的(從頭一個(gè)個(gè)排就好了),因此這個(gè)對應(yīng)是一一對應(yīng).
自然數(shù)到實(shí)數(shù)不能建立一一對應(yīng),所以不可數(shù).這個(gè)證法很多,說起來最簡單的可能是Cantor的證明,其中用到了經(jīng)典的對角線方法!茲證如下：假設(shè)能建立上述一一對應(yīng),(0,1]內(nèi)的實(shí)數(shù)必然可以依某種順序排成一列,記作a1,a2,…an.把它們化為十進(jìn)制小數(shù),有限小數(shù)一定要用那種無限的表達(dá)(這是為了保證化為無限小數(shù)方法的唯一性),比如1要寫為0.999…0.1要寫為0.0999….現(xiàn)在取一個(gè)(0,1]內(nèi)的十進(jìn)制小數(shù)a,使得a的小數(shù)點(diǎn)后第n位不是0,且與an的小數(shù)點(diǎn)后第n位不相同.這樣構(gòu)造出來的a屬于(0,1],但a不是上述an中的任何一個(gè)(因?yàn)樗can的第n位不同,而且an小數(shù)點(diǎn)后每一位都不是0,不會出現(xiàn)0.1000…=0.0999…這種情況),這就導(dǎo)致矛盾!所以自然數(shù)到實(shí)數(shù)不能建立一一對應(yīng).
這些內(nèi)容都可參看一般的《實(shí)變函數(shù)》課程教材.