f(x)=ax-bx^2=-b(x-a/2b)^2+a^2/4b,函數(shù)過點(diǎn)(0,0),對(duì)稱軸x=a/2b
(1)當(dāng)b>0時(shí),拋物線開口向下,若對(duì)任意x∈R都有f(x)≤1,那么最高點(diǎn)a^2/4b≤1,a^2≤4b,由于a＞0,b＞0,所以a≤2√b,得證
(2)當(dāng)b＞1時(shí),對(duì)于x∈[0,1]會(huì)出現(xiàn)兩種情況：①對(duì)稱軸x=a/2b≥1,即在[0,1]上拋物線是單調(diào)增函數(shù),x=1時(shí)有最大值a-b.由a/2b≥1可得a≥2b,那么a-b≥2b-b=b＞1,不符合|f（x）|≤1,所以這種情況不在考慮之內(nèi)；②對(duì)稱軸x=a/2b＜1,由于a＞0,b＞1,所以對(duì)稱軸在[0,1]內(nèi),那么如果要求|f(x)|≤1,最高點(diǎn)a^2/4b≤1,解得a≤2√b.這時(shí)要考慮當(dāng)x=1時(shí)的情況,如果當(dāng)x=1時(shí),f(1)＜0,那么還要保證f(1)≥-1,即a-b≥-1,a≥b-1.綜合得到b-1≤a≤2√b.反過來當(dāng)b-1≤a≤2√b時(shí)也一定能保證|f(x)|≤1(倒過來證一下即可),所以對(duì)任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要條件是b-1≤a≤2√b