答：
1<=x<=2,f(x)=x^2+aln(x+1)<=x恒成立
因?yàn)椋?<=x+1<=3,ln(x+1)>0
所以：
a<=(x-x^2)/ln(x+1)
因?yàn)椋涸趨^(qū)間[1,2]上,x-x^2和1/ln(x+1)都是單調(diào)遞減函數(shù)
所以：(x-x^2)/ln(x+1)在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)遞減函數(shù)
所以：x=2時,(x-x^2)/ln(x+1)>=(2-4)/ln(2+1)=-2/ln3
所以：a<=-2/ln3x-x^2和1/ln(x+1)都是單調(diào)遞減函數(shù)所以：(x-x^2)/ln(x+1)在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)遞減函數(shù)這樣的說法好像是錯的吧已知函數(shù)f(x)=x²+aln(x+1)，若對于任意的x∈[1,2],不等式f(x)≤x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。設(shè)F(x)=f(x)-x=x²-x+aln(x+1)≦0在區(qū)間[1，2]內(nèi)恒成立。由于F'(x)=2x-1+a/(x+1)=(2x²+x-1+a)/(x+1)，在區(qū)間[1，2]內(nèi)，分母x+1>0恒成立，故只需考慮分子u=2x²+x-1+a的符號。由于u是一條開口朝上的拋物線，故當(dāng)其判別式Δ=1-8(a-1)=9-8a<0，即a>9/8時對任何x都有u>0，即F(x)是增函數(shù)；為使F(x)≦0在區(qū)間[1，2]內(nèi)恒成立，只需F(2)=4-2+aln3=2+aln3≦0，即a≦-2/ln3就行了；但這與前提條件a>9/8矛盾，故無此情況。當(dāng)其判別式Δ=9-8a≧0，即a≦9/8時，u=2x²+x-1+a=2(x²+x/2)+a-1=2[(x+1/4)²-1/16]+a-1=2(x+1/4)²+a-9/8，其對稱軸為x=-1/4在區(qū)間[1，2]的左邊。又由于其最小值=a-9/8≦0，因此F(x)在區(qū)間[1，2]內(nèi)單調(diào)增；故要使F(x)=x²-x+aln(x+1)≦0在區(qū)間[1，2]內(nèi)恒成立只需F(2)=2+aln3≦0，即a≦-2/ln3就行了.由此得a的取值范圍為（-∞，-2/ln3].