解:
引理1:過兩條直線l1=0與l2=0交點(diǎn)的任意一條直線l的方程l=0可寫為l=λl1+μl2
引理2:過兩條圓錐曲線c1=0和c2=0四個(gè)交點(diǎn)的任意一條圓錐曲線c=0方程都可寫為c=λc1+μc2
在拋物線y^=2px中,設(shè)它的一條對(duì)頂點(diǎn)張角為直角的弦的方程為l=0,弦的端點(diǎn)與原點(diǎn)連線的方程為y=k1x和y=k2x,其中k1k2=-1,則(y-k1x)(y-k2x)=0可看作一條特殊的圓錐曲線c1=0把拋物線y^=2px看作圓錐曲線c2=0,其中c2=y^2-2px,把方程x*l=0看作一條圓錐曲線c=0則由引理2,c=λc1+μc2,即x*l=λ(y-k1x)(y-k2x)+μ(y^2-2px),則方程左邊能被x整除,右邊也必須能被x整除.令λ=-1,μ=1即可滿足要求.化簡(jiǎn)得x*l=(k1+k2)xy-k1k2x^2-2px=0,即l=-k1k2x+(k1+k2)y-2p,注意到k1k2=-1,l=x+(k1+k2)y-2p,或?qū)憺閘=(x-2p)+(k1+k2)y,即弦的方程為(x-2p)+(k1+k2)y=0,由引理1它經(jīng)過直線x-2p=0與直線y=0的交點(diǎn),即點(diǎn)(2p,0)
設(shè)這條弦的中點(diǎn)為M,由弦過定點(diǎn)(2p,0),故它的方程可寫為y=k(x-2p),由拋物線弦中點(diǎn)的性質(zhì)k*yM=p,同時(shí)弦的中點(diǎn)坐標(biāo)必須滿足yM=k(xM-2p),消去k可得y^2=p(x-2p),即為弦的中點(diǎn)軌跡.
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