證明：若f(x)有二階導數(shù),且f(0)=f(1)=0,f(x)/x→0（x→0）,則在（0,1）內(nèi)至少存在一點ξ,使f''(ξ)=0

數(shù)學人氣：243 ℃時間：2019-08-20 20:49:49

優(yōu)質解答

f(x)有二階導數(shù),則f(x)一階導數(shù)及f(x)連續(xù)可導
f(x)/x→0（x→0）則f(x)→0（x→0)
而f(x)連續(xù),則（x→0)時,f(x)→0=f(0)=0
則f(x)/x→0（x→0）=[(f(x)-f(0))/(x-0)]→0（x→0）
即f'(0)=0
因為f(0)=f(1)=0,根據(jù)羅爾中值定理在（0,1）內(nèi)至少存在一點ξ1,使f'(ξ1)=0
有因為f'(0)=f'(ξ1)=0 而f(x)一階導數(shù)連續(xù)可導
又滿足羅爾中值定理
所以在（0,ξ1）即（0,1）內(nèi)至少存在一點ξ,使f''(ξ)=0