由方程y=f(x)決定了另一個函數(shù)x=g(y),也就是所謂的f反函數(shù)是g
對于這個曲線上的任何一點(x0,y0),其局部增量分別為Δx和Δy,那么f'(x0)=lim_{Δx->0} Δy/Δx
而反函數(shù)x=g(y)對應的曲線是一樣的,其局部增量也是Δx和Δy,只不過x和y的地位交換了一下,所以g'(y0)=lim_{Δy->0} Δx/Δy = lim_{Δy->0} 1/(Δy/Δx) = 1/f‘(x0)
這就是“反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)”的原因,可以簡記成dx/dy=1/(dy/dx)
至于你要的例子,反函數(shù)x=y^{1/3},dx/dy=1/(dy/dx)=1/(3x^2),其實一般來講到這步也夠了,只不過形式上想用自變量y來表示這個導數(shù),那么再把x^2寫成y^{2/3},所以dx/dy=1/3*y^{-2/3}