證明：若α1,α2,α3線性相關(guān),則存在不全為0的實數(shù)x1,x2,x3
使得x1α1+x2α2+x3α3=0,∵β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α1
∴α1=(β1+β3-β2)/2,α2=(β1+β2-β3)/2,α3=(β2+β3-β1)/2,帶入上式得
(x1+x2-x3)β1+(x2+x3-x1)β2+(x1+x3-x2)β3=0,∵x1,x2,x3不全為0
若x1+x2-x3=x2+x3-x1=x1+x3-x2=0,則解得x1=x2=x3=0,矛盾
∴x1+x2-x3,x2+x3-x1,x1+x3-x2不全為0,即β1,β2,β3線性相關(guān)
即α1,α2,α3線性相關(guān) => β1,β2,β3線性相關(guān)
反之,同理可證β1,β2,β3線性相關(guān) => α1,α2,α3線性相關(guān)
∴α1,α2,α3線性相關(guān) <=> β1,β2,β3線性相關(guān)
即α1,α2,α3線性無關(guān) <=> β1,β2,β3線性無關(guān)