設(shè)OAPB的對角線相交于J點(diǎn),設(shè)P(x,y),A(x1,y1), B(x2,y2).因為平行四邊形的對角線互相平分,所以J既是OP的中點(diǎn)也是AB的中點(diǎn).P=A+B-O=A+B,x=x1+x2, y=y1+y2.聯(lián)立L與C的方程,消去y有(a+m^2)x^2 + 2mx - 1 = 0 于是x = x1+x2 = -2m/(a+m^2), y = mx+2 = 2a/(a+m^2)
(1)當(dāng)a=2時,x=-2m/(2+m^2), y=4/(2+m^2).于是m = 2x/y,4=y(2+m^2)=2y+4x^2/y,即
2x^2+y^2=2y 這就是m變動時（如果m不變,則點(diǎn)P沒有所謂的軌跡）,點(diǎn)P的軌跡方程.
(2) AB=sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 ) = sqrt(1+m^2) * sqrt( (x1+x2)^2 - 4 x1 x2 )= 2 sqrt( (a+2m^2)*(1+m^2) ) / (a+m^2)
又O到AB的距離為1/sqrt(1+m^2) （可以借助L于坐標(biāo)軸的兩個交點(diǎn)來計算）,所以若a,m滿足a+2m^2=1,則∵a>0,∴m^2∈[0,1/2), 1-m^2∈(1/2,1], S(a)=AB*1/sqrt(1+m^2)=2/(a+m^2)=2/(1-m^2)∈[2,4) 跟題目要求證的結(jié)論稍有不同.
說明：題目的結(jié)論有誤,因為m=0時,y=1為水平直線,A與B縱坐標(biāo)也為1,所以AOB三點(diǎn)不共線,與P可以組成平行四邊形,符合條件,此時a=1,S(a) = 2