第一類型非齊次方程特解的待定系數(shù)解法: 
現(xiàn)在,考慮()()xmfxpxe時(shí),非齊次方程（1）的特解的求法. 
先從最簡(jiǎn)單的二階方程 
xypyqye                                   （6） 
開始. 
因?yàn)閤e經(jīng)過求任意階導(dǎo)數(shù)再與常數(shù)線性組合后,仍是原類型函數(shù),所以,自然猜想到（6）有形如 
xyAe                                           （7） 
的特解,其中A為待定常數(shù).將（7）代入（6）得到 

2xxApqee 

則 
2
1
Apq

                                       （8） 這樣,當(dāng)不是特征方程 
20pq                                        （9） 
的根時(shí),則用（8）所確定的A代入（7）便得到（6）的特解. 
當(dāng)是（9）的單根時(shí),即20pq,這時(shí)（8）無法確定A.此時(shí),可設(shè)特解為 
xyAxe                                           （10） 
并將它作為形式解代入(6)式,得 

22xxxApqxeApee 
因是當(dāng)特征根,故可解出 

1
112Ap
 
這時(shí)（6）便有形如（10）的特解,其中A由（11）確定. 
   如果是（9）的重根,則2
p
,這時(shí)（10）的形式已不可用.此時(shí),可
設(shè)特解為 
2xyAxe 
將它作為形式解,代入6得到 
22222xxxxApqxeApxeAee 
由于是二重根,故上式左端前兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)為零,由此得到 
12
A 
綜上所述,可以得到如下結(jié)論：  
 設(shè)()()mpx是m次實(shí)或復(fù)系數(shù)的多項(xiàng)式. 
第一類型非齊次方程特解的待定系數(shù)解法: 
現(xiàn)在,考慮()()xmfxpxe時(shí),非齊次方程（1）的特解的求法. 
先從最簡(jiǎn)單的二階方程 
xypyqye                                   （6） 
開始. 
因?yàn)閤e經(jīng)過求任意階導(dǎo)數(shù)再與常數(shù)線性組合后,仍是原類型函數(shù),所以,自然猜想到（6）有形如 
xyAe                                           （7） 
的特解,其中A為待定常數(shù).將（7）代入（6）得到 

2xxApqee 

則 
2
1
Apq

                                       （8） 這樣,當(dāng)不是特征方程 
20pq                                        （9） 
的根時(shí),則用（8）所確定的A代入（7）便得到（6）的特解. 
當(dāng)是（9）的單根時(shí),即20pq,這時(shí)（8）無法確定A.此時(shí),可設(shè)特解為 
xyAxe                                           （10） 
并將它作為形式解代入(6)式,得 

22xxxApqxeApee 
因是當(dāng)特征根,故可解出 

1
112Ap
 
這時(shí)（6）便有形如（10）的特解,其中A由（11）確定. 
   如果是（9）的重根,則2
p
,這時(shí)（10）的形式已不可用.此時(shí),可
設(shè)特解為 
2xyAxe 
將它作為形式解,代入6得到 
22222xxxxApqxeApxeAee 
由于是二重根,故上式左端前兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)為零,由此得到 
12
A 
綜上所述,可以得到如下結(jié)論：  
 設(shè)()()mpx是m次實(shí)或復(fù)系數(shù)的多項(xiàng)式.