f(x)=lnx-x+1,x>=1
f'(x)=(1-x)/x<0,x>1
則f(x)在x>1上單調(diào)遞減,又f(x)可在x=1處連續(xù)則
f(x)
即lnx
我們?nèi)²(>1)替換上式x有
lnn²
得到[lnn²]/n²<1-[(1/n)-1/(n+1)].(*)
將（*）中的n依次從2取到n累加有
[ln2²]/2²+[ln3²]/3²+...+[lnn²]/n²<(n-1)-{[1/2-1/3]+[1/3-1/4]+...+[1/n-1/(n+1)]=(n-1)-[1/2-1/(n+1)]
=(2n²-n-1)/[2(n+1)]
即[ln2²]/2²+[ln3²]/3²+...+[lnn²]/n²<(2n²-n-1)/[2(n+1)],n∈N+,n≥2命題得證.