（1）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)F坐標(biāo)是(c,0) ,c>0,左焦點(diǎn)為點(diǎn)E,則：
|OF|=c,|PF|=λ|OF|=λc
又由雙曲線的（第一）定義可知：
|PE|-|PF|=2a
得|PE|=|PF|+2a=λc+2a
因?yàn)镻M//OF即PM//x軸,而左準(zhǔn)線垂直于x軸
所以PM垂直于左準(zhǔn)線
即點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離就是線段|PM|的長(zhǎng)
又在平行四邊形OMPF中有：
|PM|=|OF|=c
則由雙曲線的第二定義可得：
|PE|/|PM|=c/a
則離心率e=c/a
=|PE|/|PM|
=(λc+2a)/c
＝λ+2a/c
=λ+2/e
所以λ＝e-2/e
(2)由于點(diǎn)M在左準(zhǔn)線x=-a²/c上,
故可設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(-a²/c,y) ,點(diǎn)P(x,y) 其中x>0,y>0
則|MO|=√[(-a²/c)²+y²]
又λ＝1,則可知|PF|=|MO|=|OF|=c
所以|√[(-a²/c)²+y²]＝c
即y²＝c²-(a²/c)² (1)
又由第1小題知λ＝e-2/e
因?yàn)棣耍?,所以
e-2/e＝1
即e²-e-2=0
(e-2)(e+1)=0
因?yàn)閑>1,所以解得e＝2
則c/a=2,得c＝2a
又b²＝c²－a²,則b＝√3 a
雙曲線方程可化為：3x²-y²=3a² （2）
將c＝2a代入(1)式得：
y²＝4a²-(a²/2a)²=4a²-a²/4=15a²/4
解得y=√15a/2
則點(diǎn)P坐標(biāo)可表示為(x,√15a/2)
又點(diǎn)P在此雙曲線上,則將點(diǎn)P坐標(biāo)代入雙曲線方程(2)式得：
3x²-15a²/4=3a²
3x²=27a²/4
解得x＝3a/2
則點(diǎn)P坐標(biāo)為(3a/2,√15a/2)
所以直線OP的斜率k(op)=(√15a/2)/(3a/2)=√15/3
即過焦點(diǎn)F(2a,0)且平行于OP的直線的斜率也等于√15/3
則由直線的點(diǎn)斜式方程得：
y-0=√15/3 *(x-2a)
即y=√15/3 *(x-2a)
√15x-3y-2√15 a=0
將此直線方程與雙曲線方程3x²-y²=3a² 聯(lián)立求交點(diǎn)A.B坐標(biāo)
y=√15/3 *(x-2a)
3x²-y²=3a²
消去y得：3x²-5/3 *(x-a)²=3a²
即9x² －5x²+10ax－5a²＝9a²
4x²+10ax－14a²＝0
2x²+5ax－7a²＝0
(2x+7a)(x-a)=0
解得x1＝－7a/2,x2=a
由于|AB|=√(1+k²) *|x1-x2|=12
所以√(1+5/3) *|-7a/2-a|=12
(2√6)/3 *9a/2=12
解得a＝(2√6)/3
則b＝√3 a＝2√2
所以所求雙曲線方程是：
x²/(8/3) - y²/8=1