證明:由題設(shè),n階矩陣A滿足A^m=0(零矩陣),
因?yàn)?E-A)[E+A+A^2+A^3+.+A^(m-1)]=E-A^m=E-0=E,
又因?yàn)閇E+A+A^2+A^3+.+A^(m-1)](E-A)=E-A^m=E-0=E,
即(E-A)[E+A+A^2+A^3+.+A^(m-1)]=[E+A+A^2+A^3+.+A^(m-1)](E-A)=E,
所以由矩陣可逆定義及逆矩陣定義可知：
E-A可逆,且E-A的逆矩陣等于E+A+A^2+A^3+.+A^(m-1).