設(shè)n為正整數(shù),當(dāng)n不是完全立方數(shù)時(shí),n^(1/3)是無(wú)理數(shù).
= = = = = = = = =
1.若n=p,p為質(zhì)數(shù).
證明：假設(shè) p^(1/3) 是有理數(shù),
則 p^(1/3) =a/b,(a,b是互質(zhì)的正整數(shù).)
所以 p =(a^3) /(b^3),
即 a^3 =p (b^3).
所以 p|(a^3).
又因?yàn)?p 是質(zhì)數(shù),
所以 p|a.
令 a =pc,(c是整數(shù)),
則 (p^3) (c^3) =p (b^3),
即 b^3 =(p^2) (c^3).
所以 p|(b^3).
所以 p|b.
所以 a,b 有公約數(shù)p,
與 a,b 互質(zhì)矛盾.
所以 假設(shè)不成立,
即 p^(1/3) 是無(wú)理數(shù).
= = = = = = = = =
2.若n=p^2,p為質(zhì)數(shù).
證明：假設(shè) n^(1/3) =p^(2/3) 是有理數(shù),
則 p^(2/3) =a/b,(a,b是互質(zhì)的正整數(shù).)
所以 p^2 =(a^3) /(b^3),
即 a^3 =(p^2) (b^3).
所以 p|(a^3).
又因?yàn)?p 是質(zhì)數(shù),
所以 p|a.
令 a =pc,(c是整數(shù)),
則 (p^3) (c^3) =(p^2) (b^3),
即 b^3 =p (c^3).
所以 p|(b^3).
所以 p|b.
所以 a,b 有公約數(shù)p,
與 a,b 互質(zhì)矛盾.
所以 假設(shè)不成立,
即 n^(1/3) 是無(wú)理數(shù).
= = = = = = = = =
3.其他類(lèi)型的非完全立方數(shù).
不知怎么證.
但可以先化簡(jiǎn).
比如：16^(1/3) =2 [ 2^(1/3) ],
54^(1/3) =2 [3^(1/3) ],
......