簡(jiǎn)單地說(shuō)：基數(shù)：1,2,3,4..序數(shù)：第一,第二,第三,第四.聯(lián)系：基數(shù)是一種特殊的序數(shù).把序數(shù)按等勢(shì)關(guān)系歸劃,每一類(lèi)中的最小序數(shù)就是基數(shù),從而成為這類(lèi)序數(shù)的勢(shì).區(qū)別：運(yùn)算規(guī)則不同 這些是公理集論的內(nèi)容,序數(shù)的定義一...講得很全，但還是不明白基數(shù)，1，2，3，4是4個(gè)基數(shù)？還是這一個(gè)集合整體算一個(gè)基數(shù)？可以說(shuō)是4個(gè)基數(shù)，也可以說(shuō)是一個(gè)基數(shù)基數(shù)(cardinal number)也叫勢(shì)(cardinality)，指集合論中刻畫(huà)任意集合所含元素?cái)?shù)量多少的一個(gè)概念。兩個(gè)能夠建立元素間一一對(duì)應(yīng)的集合稱(chēng)為互相對(duì)等集合。例如3個(gè)人的集合和3匹馬的集合可以建立一 一對(duì)應(yīng)，是兩個(gè)對(duì)等的集合。此外還有語(yǔ)言學(xué)和軍事上的基數(shù)。根據(jù)對(duì)等這種關(guān)系對(duì)集合進(jìn)行分類(lèi)，凡是互相對(duì)等的集合就劃入同一類(lèi)。這樣，每一個(gè)集合都被劃入了某一類(lèi)。任意一個(gè)集合A所屬的類(lèi)就稱(chēng)為集合A的基數(shù)，記作(或|A|，或cardA)。這樣，當(dāng)A 與B同屬一個(gè)類(lèi)時(shí)，A與B 就有相同的基數(shù)，即|A|=|B|。而當(dāng) A與B不同屬一個(gè)類(lèi)時(shí)，它們的基數(shù)也不同。 　　如果把單元素集的基數(shù)記作1，兩個(gè)元素的集合的基數(shù)記作2，等等，則任一個(gè)有限集的基數(shù)就與通常意義下的自然數(shù)一致 。空集的基數(shù)也記作σ 。于是有限集的基數(shù)也就是傳統(tǒng)概念下的“個(gè)數(shù)”。但是，對(duì)于無(wú)窮集，傳統(tǒng)概念沒(méi)有個(gè)數(shù)，而按基數(shù)概念，無(wú)窮集也有基數(shù)，例如，任一可數(shù)集（也稱(chēng)可列集）與自然數(shù)集N有相同的基數(shù)，即所有可數(shù)集是等基數(shù)集。不但如此，還可以證明實(shí)數(shù)集R與可數(shù)集的基數(shù)不同。所以集合的基數(shù)是個(gè)數(shù)概念的推廣。 　　基數(shù)可以比較大小。假設(shè)A，B的基數(shù)分別是a，β，即|A|=a，|B|=β，如果A與B的某個(gè)子集對(duì)等，就稱(chēng) A 的基數(shù)不大于B的基數(shù)，記作a≤β，或β≥a。如果 a≤ β，但a≠β（ 即A與B不對(duì)等 ），就稱(chēng)A的基數(shù)小于B的基數(shù)，記作a<β，或β>a。在承認(rèn)策梅羅(Zermelo)選擇公理的情況下，可以證明基數(shù)的三岐性定理——任何兩個(gè)集合的基數(shù)都可以比較大小，即不存在集合A和B，使得A不能與B的任何子集對(duì)等，B也不能與A的任何子集對(duì)等。 　　基數(shù)可以進(jìn)行運(yùn)算 。設(shè)|A|=a ，|A|=β，且 A∩B是空集，則規(guī)定為a 與β之和記作=a +β。設(shè)|A|=a，|B|=β，A×B為 A與B的積集，規(guī)定為 a 與β的積，記作=a·β。